*** Étude d'une population d'hippopotames

On étudie l'évolution du nombre d'hippopotames dans un parc naturel, depuis l'année 2000.
Cette évolution est modélisée par  une fonction \(f\)  définie sur \([0\ ;\ +\infty[\)  par \(f(t)=\displaystyle\frac{7\ 500}{1+749\text{e}^{-0,15t}}\)  où \(t\)  désigne le nombre d'années écoulées depuis l'année 2000.

1. Calculer le nombre d'hippopotames présents dans le parc en 2000.
2. Étudier les variations de la fonction \(f\)  sur l'intervalle \([0\ ;\ +\infty[\)  et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
3. Étudier la convexité de la fonction \(f\)  sur \([0\ ;\ +\infty[\)  et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

Remarque

On retrouve ce type de fonction dans un modèle appelé « modèle de Verhulst  ». Pierre-François Verhulst est un mathématicien belge du XIX^e siècle ayant travaillé sur la dynamique des populations.